Lliçons de geometria afí

Abstract

Aquestes lliçons cobreixen el material de la geometria afí corresponent a la primera meitat de l'assignatura Geometria Lineal del Grau en Matemàtiques de la UAB. Així els temes són espais afins i afinitats, geometria afí de rectes, plans i altres varietats lineals, coordenades afins i equacions de varietats lineals i d'afinitats, classificació de les afinitats de la recta i del pla. Usualment [Weyl 1918], l'espai afí es defineix com un conjunt amb una acció simplement transitiva d'un espai vectorial V (és a dir, és un "V-torsor"). En aquestes lliçons prenem un altre punt de vista [Mac Lane-Birkhoff 1967], definint els espais afins en termes de combinacions afins, i en deduïm l'espai vectorial V com l'espai de les translacions. Els mètodes vectorials tenen un paper d'eina important, però no pas de fonament. Aquest enfocament té uns quants avantatges conceptuals: • És més geomètric: la formació de combinacions afins és una formalització natural de les construccions bàsiques de la geometria, com ara la recta determinada per dos punts, el centre de massa, o la formació de paral·lelograms. (La noció de V-torsor és cinemàtica més aviat que geomètrica.) Els vectors es dedueixen de la geometria intrínseca com a translacions, i així tenen una explicació per donar suport a la intuició. - • Físicament, és més natural: modelitza directament l'espai físic (mentre que la noció de V-torsor modelitza l'espai físic escollint primer un origen (d'on la noció d'espai vectorial) i després l'oblidant (la noció de torsor)). - • És més natural categòricament: les nocions de subespai afí i d'aplicació afí són evidents, i el "teorema fonamental" de la geometria afí esdevé una tautologia. - • Emfatitza la diferència essencial entre espai afí i espai vectorial definint les nocions en paral·lel i no pas una subordinada a l'altra. - El preu a pagar és que hem d'establir que les translacions formin un espai vectorial. Aquest resultat requereix un cert nivell d'abstracció i pot representar un repte per als estudiants: objectes que són transformacions d'una estructura passen a ser considerats com elements d'una altra. Però ho fem poc a poc, amb confiança que vall la pena treballar una mica aquesta relació fonamental entre les dues categories centrals de l'assumpte.