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    Sistemas de numeración posicional

      El sistema de numeración que normalmente utilizamos, es el sistema de numeración posicional de base 10. Esto quiere decir, en primer lugar, que usamos 10 símbolos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.   En segundo lugar este sistema de numeración se denomina posicional porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa en la representación del número. Así es diferente el 171 que el 117, aunque los representamos con los mismos tres símbolos. La posición nos indica si cada uno de estos símbolos es unidad, decena, centena, etc. Por ejemplo, el 137 es un número que tiene 7 unidades, 3 decenas y 1 centena. Así tendremos la igualdad:

      137 = 100 + 30 + 7 = 1·102+3·101+ 7·100

      En la historia de la humanidad no siempre se ha utilizado este sistema de numeración. Si quieres saber más sobre diferentes bases usadas en la antigüedad consulta el anexo 1.

    Numeración de base b

      En general diremos que un número x tiene la expresión rnrn-1...r1r0(b en base b si y sólo si

      x= r0+r1b1+...+rn-1bn-1+rnbn

      donde x y b son números naturales y los números rn, rn-1,..., r1, r0 están entre 0 y b-1. Cuando la base de numeración es mayor que 10 podemos tener alguna cifra que sea superior a 10. En este caso se utilizan letras con el orden: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,...

    Sistema binario

      Hay que destacar dentro de los sistemas de numeración el sistema binario. Éste es el sistema de numeración posicional en base 2. Por ejemplo el 87 en base 2 es el 1010101, ya que:

      1010101 = 1·26+ 0·25+1·24+0·23+1·22+ 1·21+ 1·20=
      =64 + 16 + 4 + 2 + 1 = 87

      El sistema binario es el sistema de numeración más usado en aplicaciones tecnológicas. Si queréis saber más sobre el sistema binario, sus implicaciones tecnológicas y su uso en matemática algorítmica, consultad el anexo 2.

    De base b a base 10

      La definición de la expresión de un número en una base nos proporciona una manera de calcular su valor en base 10. Veamoslo con un ejemplo:

      Ejemplo
      Expresad el número 40442(6 en base 10.
      Para pasar el número 40442 de base 6 a base 10, hay que aplicar el significado de la expresión de un número en base 6, es decir:

      40442(6=2·60+4·61+4·62+0·63+4·64=5354.

      Si queréis practicar este tipo de conversiones encontraréis una serie de ejercicios en el anexo 6. Hay una manera de sistematizar estos cálculos con una tabla que encontraréis en el anexo 4 (Regla de Horner).
    De base 10 a base b

      Otro problema es el de pasar un número de base 10 a una base cualquiera. Para hacer este proceso disponemos del algoritmo de las divisiones sucesivas. Veamos cómo funciona el algoritmo para expresar el número x en base b:

      La primera división que hay que hacer es la división entera de x entre b obteniendo un cociente q1 y un resto r0.
      Si el cociente anterior es diferente de 0 hacemos una segunda división: dividimos q1 entre b, obteniendo el cociente q2 y el resto r1.
      Si el cociente anterior es diferente de 0 hacemos una tercera divisió: dividimos q2 entre b, obteniendo el cociente q3 y el resto r2.
      . . . . . . . . . . . . .

      Así iremos haciendo divisiones sucesivas hasta que obtengamos un cierto cociente igual a 0 al hacer la división y resto rn.
      La expresión del número x en base b es el número

      rnrn-1...r1r0(b
      es decir, la sucesión de los restos cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido.

      Ejemplo
      Expresad el número 99235 en base 16.

      Para pasar el número 99235 a base 16 hay que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados.

      Hagamos en primer lugar las divisiones sucesivas.
      La primera división que hay que hacer es 99235 entre 16, con la que obtenemos el cociente 6202 y resto 3.
      La segunda división es 6202 entre 16 y obtenemos el cociente 387 y resto 10.
      En la tercera división hacemos 387 entre 16 y obtenemos el cociente 24 y resto 3.
      La cuarta es 24 entre 16 y obtenemos el cociente 1 y resto 8.
      La división que hacemos en el lugar 5 es 1 entre 16, obtenemos el cociente 0 y resto 1.

      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido (no olvidar que cuando los restos son mayores que 9, utilizamos las letras A,B,C,...). Así, el número 99235 en base 16 es

      183A3(16

      Si queréis practicar este tipo de conversiones podéis consultar el anexo 6.

      Dos cuestiones que hay que aclarar ahora es la validez de este algoritmo y probar que la expresión de un número en una cierta base siempre existe y es única. Estas dos cuestiones las encontrarás contestadas en el anexo 3.

    De una base cualquiera a otra

      Evidentemente utilizando la concatenación de los dos tipos de conversiones se puede pasar un número de una base cualquiera a otra. En el anexo 6 encontrarás ejercicios resueltos de este tipo.

      Para las bases de numeración 2,4,8,16 hay una serie de técnicas para hacer conversiones que encontrarás en el anexo 5.

      Las bases de numeración también dan juego para hacer diferentes problemas de los que puedes encontrar algunos ejemplos en el anexo 6.

    Anexo 1. Historia sistemas de numeración
      No siempre se ha utilizado el sistema de numeración posicional de base 10. Los dígitos que utilizamos en nuestro sistema de numeración fueron introducidos por los árabes  pero son de origen indú. En la antigua Babilonia se utilizaban otras bases de numeración. La razón por la que nosotros utilizamos 10 símbolos parece tener que ver con el número de dedos de las manos.

      Los antiguos romanos utilizaban una numeración basada en el uso de los símbolos I,V,X,L,C,D,M con los valores

      I=1,V=5,X=10,L=50,C=100,D=500,M=1000

      También se trataba de un sistema posicional ya que no era lo mismo XI=11 que IX=9 (es decir, importa el orden de los símbolos).
    Anexo 2. Aplicaciones del sistema binario
      El sistema binario es el sistema de numeración más usado en aplicaciones tecnológicas. Esto es así por su simplicidad (sólo utiliza dos símbolos) que a menudo se asocian a dos estados de un mecanismo. Así si queremos enviar un número por una línea iremos enviando pulsos (para los '1') y las absencias de pulsos seran los '0'. También en la superficie de un CD hay una cadena de ceros y unos simplemente concatenando zonas activadas para el lector del laser (1) con zonas no activadas (0). Los ordenadores hacen sus operaciones internamente en sistema binario.

      El sistema binario también tiene aplicaciones en la matemática algorítmica. Un ejemplo es uno de los métodos conocidos más efectivos para el cálculo de una poténcia. Este método consiste en expresar el exponente en base 2 y proceder como en el ejemplo siguiente:

      320 = 310100= (31)0· (32)0· (322)1· (323)0· (324)1 =
      = 81 · 43.046.721 = 3.486.784.401

      Observad que se han hecho 4 cuadrados y 1 multiplicación, en comparación con las 19 multiplicaciones que se necesitarian haciendolo directamente.

    Anexo 3. Existencia y unicidad de la expresión de un número entero en una base

      Para justificar la validez del algoritmo de las divisiones sucesivas, así como la existencia y unicidad de la expresión de un número en una base utilizaremos el teorema de la división entera. Recordémoslo: (escribiremos > = para denotar mayor o igual y < = para menor o igual)

      Teorema
      Si a> = 0 y b > 0 son enteros dados, entonces hay enteros únicos q y r que verifican:

      a=bq+r, con q> = 0, 0 < = r < b.

      Los enteros q y r se denominan, respectivamente, el cociente y el resto de la división entera de a entre b.

      El teorema que afirma que existe y es única esta expresión se enuncia de la siguiente manera:

      Teorema
      Todo número natural x se puede expresar de forma única en una base b>1.

      Demostración

      Apliquemos el teorema de la división entera al número x y b, con el que obtenemos el cociente q1 y un resto r0. Se verifica: x=bq1+r0.
      A continuación hacemos lo mismo con el cociente obtenido: hacemos la división de q1 entre b, con cociente q2 y resto r1. Así: q1=bq2+r1.
      (Haciendo estas divisiones sucesivas llegaremos a un cociente 0 ya que los cocientes son números positivos menores estrictos que los dividendos, es decir: x> q1 > q2> ...)
      ........................
      Hacemos la última división entera que corresponde a qn entre b, obteniendo el cociente 0 y un resto rn, es decir que qn=b0+rn.
      Ahora sólo es necesario fijarse en que 0<= ri < b y que:

      x=r0+q1b=r0+(r1+bq2)b= r0+r1b+q2b2=

      =r0+r1b+(r2+bq3)b2= r0+r1b+r2b2+q3b3=...

      =r0+r1b+r2b2+r3b3+...+ rnbn
      La expresión es única ya que si tuvieramos dos:
      r0+r1b+r2b2+...+rnbn= s0+s1b+s2b2+...+smbm
      entonces por la unicidad del resto y del cociente de la división entera obtenemos:
      r0=s0
      r1+r2b+...+rnbn-1= s1+s2b+...+smbm-1
      Repitiendo el proceso se obtiene que n=m y que r0=s0, r1=s1,r2=s2,...

      Pensad que es importante demostrar que la expresión siempre existe y es única. En matemáticas no siempre funcionan las cosas tan bién. Por ejemplo, no existe la expresión de la raíz cuadrada de 2 como cociente de dos números enteros. Además observad que la expresión del número 13 como número decimal no és única:

      13,000000000000...=12,99999999999999...
    Anexo 4. Regla de Horner para el paso de una base cualquiera a base 10
    Para pasar un número rnrn-1...r1r0 (b a base 10 hay que hacer el cálculo 
    r0+r1b1+...+rn-1bn-1+rnbn
    Llamemos p(x) al polinomio que tiene por coeficientes los dígitos del número, es decir
    p(x)= r0+r1x1+...+rn-1xn-1+rnxn
    Se observa que para hacer la conversión del número a base 10 sólo hay que encontrar la imagen p(b). Este cálculo se puede sistematizar utilizando la regla de Horner (algoritmo de la división de Ruffini). Veamos con un ejemplo en qué consiste esta sistematización.

    Sea el número 1010111(2.
    Para expresarlo en base 10 sólo hay que evaluar el polinomio

    p(x)=1·x6+0·x5+1·x4+0·x3+1·x2+1·x1+1·x0
    en x=2. Para hacer este cómputo se pueden sistematizar los cálculos según el algoritmo de la división de Ruffini y tomar el resto de la división:
        |  1   0   1   0   1   1   1
        |
    2   |      2   4  10  20  42  86
    ----------------------------------
        |  1   2   5  10  21  43  87
    

    Así podemos concluir que 1010111(2=87.
    Anexo 5. Agrupaciones de dígitos para la conversión entre bases
      Para pasar un número de base 2 a base 4 se puede hacer agrupando los dígitos de dos en dos y substituirlos por su valor. Veamos con un ejemplo qué queremos decir:

      1010111(2 --->1 01 01 11 ---> 1113(4

      Esta conversión es correcta fijándonos que:

      1010111(2 =1·20+ 1·21+1·22+0·23+1·24+ 0·25+ 1·26=
      =1·20+1·21+ 22·(1·20+0·21)+24·(1·20+0·21)+ 26·(1·20)=
      =3+ 22·1+24·1+ 26·1=
      =3·40+1·41+1·42+1·43=1113(4

      Hemos sacado factor común 1,22, 24, 26 y después hemos calculado el interior de los paréntesis.

      Lo mismo se puede hacer agrupando los dígitos de 3 en 3 obteniendo entonces la conversión a base 8 (el número se dice que está en octal):

      1010111(2 --->1 010 111 ---> 127(8
      Y de la misma manera haciendo las agrupaciones de 4 en 4 obtenemos la expresión en base 16:

      1010111(2 --->101 0111 ---> 57(16
    Anexo 6. Ejercicios resueltos

     

      EJERCICIO

      Expresad  el número 44534(6 en base 10.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 44534 de base 6 a base 10 tenemos que aplicar el significado de la expresión de un número en base 6, es decir:

      44534(6=4·60+3·61+5·62+4·63+4·64=6250.


      EJERCICIO

      Expresad el número 1552(9 en base 10.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 1552 de base 9 a base 10 tenemos que aplicar el significado de la expresión de un número en base 9, es decir:

      1552(9=2·90+5·91+5·92+1·93=1181.
       

      EJERCICIO

      Expresad el número 4B578(13 en base 10.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 4B578 de base 13 a base 10 tenemos que aplicar el significado de la expresión de un número en base 13 (no olvidéis que las letras A,B,C,..., corresponden a los valores 10,11,12,...), es decir:

      4B578(13=8·130+7·131+5·132+11·133+4·134=139355.
       

      EJERCICIO

      Expresad el número 47122 en base 6.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 47122 a base 6 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:

      DIVISIONES SUCESIVAS
      La primera división que se tiene que hacer es 47122 entre 6, con la que obtenemos el cociente 7853 y resto 4.
      La segunda división es 7853 entre 6 y obtenemos el cociente 1308 y resto 5.
      En la tercera división hacemos 1308 entre 6 y obtenemos el cociente 218 y resto 0.
      La cuarta es 218 entre 6 y obtenemos el cociente 36 y resto 2.
      La división que hacemos en lugar 5 es 36 entre 6, obtenemos el cociente 6 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 6 es 6 entre 6, obtenemos el cociente 1 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 7 es 1 entre 6, obtenemos el cociente 0 y resto 1.


      RECONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido.
      Así, el número 47122 en base 6 es

      1002054(6

      EJERCICIO

      Expresad el número 47625 en base 13.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 47625 a base 13 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:

      DIVISIONES SUCESIVAS
      La primera división que se tiene que hacer es 47625 entre 13, con la que obtenemos el cociente 3663 y resto 6.
      La segunda división es 3663 entre 13 y obtenemos el cociente 281 y resto 10.
      En la tercera división hacemos 281 entre 13 y obtenemos el cociente 21 y resto 8.
      La cuarta es 21 entre 13 y obtenemos el cociente 1 y resto 8.
      La división que hacemos en lugar 5 es 1 entre 13, obtenemos el cociente 0 y resto 1.


      RECONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido (no olvidéis que cuando los restos son mayores que 9, utilizamos las letras A,B,C,...).
      Así, el número 47625 en base 13 es
      188A6(13

      EJERCICIO

      Expresad el número 1598 en base 15.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 1598 a base 15 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:

      DIVISIONES SUCESIVAS
      La primera división que se tiene que hacer es 1598 entre 15, con la que obtenemos el cociente 106 y resto 8.
      La segunda división es 106 entre 15 y obtenemos el cociente 7 y resto 1.
      En la tercera división hacemos 7 entre 15 y obtenemos el cociente 0 y resto 7.


      RECONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido.
      Así, el número 1598 en base 15 es
      718(15

      EJERCICIO

      Expresad el número 4443 en base 2.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 4443 a base 2 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:

      DIVISIONES SUCESIVAS
      La primera división que se tiene que hacer es 4443 entre 2, con la que obtenemos el cociente 2221 y resto 1.
      La segunda división es 2221 entre 2 y obtenemos el cociente 1110 y resto 1.
      En la tercera división hacemos 1110 entre 2 y obtenemos el cociente 555 y resto 0.
      La cuarta es 555 entre 2 y obtenemos el cociente 277 y resto 1.
      La división que hacemos en lugar 5 es 277 entre 2, obtenemos el cociente 138 y resto 1.
      La división que hacemos en lugar 6 es 138 entre 2, obtenemos el cociente 69 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 7 es 69 entre 2, obtenemos el cociente 34 y resto 1.
      La división que hacemos en lugar 8 es 34 entre 2, obtenemos el cociente 17 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 9 es 17 entre 2, obtenemos el cociente 8 y resto 1.
      La división que hacemos en lugar 10 es 8 entre 2, obtenemos el cociente 4 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 11 es 4 entre 2, obtenemos el cociente 2 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 12 es 2 entre 2, obtenemos el cociente 1 y resto 0.
      La división que hacemos en lugar 13 es 1 entre 2, obtenemos el cociente 0 y resto 1.


      RECONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido.
      Así, el número 4443 en base 2 es
      1000101011011(2

      EJERCICIO

      Expresad el número 11110(2 en base 6.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 11110 de base 2 a base 6 haremos una conversión intermedia en base 10. En primer lugar tenemos que aplicar el significado de la expresión de un número en base 2, es decir:

      11110(2=0·20+1·21+1·22+1·23+1·24=30.
      No olvidéis que 30 está escrito en base 10: 30(10.
      Ahora para pasar el número 30 a base 6 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:
      La primera división que se tiene que hacer es 30 entre 6, con la que obtenemos el cociente 5 y resto 0.
      La segunda división es 5 entre 6 y obtenemos el cociente 0 y resto 5.
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido.
      Así, el número 11110(2 en base 6 es
      50(6

      EJERCICIO

      Expresad el número 8261A(11 en base 16.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 8261A de base 11 a base 16 haremos una conversión intermedia en base 10. En primer lugar tenemos que aplicar el significado de la expresión de un número en base 11 (no olvidéis que las letras A,B,C,..., corresponden a los valores 10,11,12,...), es decir:

      8261A(11=10·110+1·111+6·112+2·113+8·114=120537.
      No olvidéis que 120537 está escrito en base 10: 120537(10.
      Ahora para pasar el número 120537 a base 16 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:
      La primera división que se tiene que hacer es 120537 entre 16, con la que obtenemos el cociente 7533 y resto 9.
      La segunda división es 7533 entre 16 y obtenemos el cociente 470 y resto 13.
      En la tercera división hacemos 470 entre 16 y obtenemos el cociente 29 y resto 6.
      La cuarta es 29 entre 16 y obtenemos el cociente 1 y resto 13.
      La división que hacemos en lugar 5 es 1 entre 16, obtenemos el cociente 0 y resto 1.
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido (no olvidéis que cuando los restos son mayores que 9, utilizamos las letras A,B,C,...).
      Así, el número 8261A(11 en base 16 es
      1D6D9(16

      EJERCICIO

      Expresad el número 10(2 en base 11.
      SOLUCIÓN

      Para pasar el número 10 de base 2 a base 11 haremos una conversión intermedia en base 10. En primer lugar tenemos que aplicar el significado de la expresión de un número en base 2, es decir:

      10(2=0·20+1·21=2.
      No olvidéis que 2 está escrito en base 10: 2(10.
      Ahora para pasar el número 2 a base 11 tenemos que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados:
      La primera división que se tiene que hacer es 2 entre 11, con la que obtenemos el cociente 0 y resto 2.
      Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido.
      Así, el número 10(2 en base 11 es
      2(11

      EJERCICIO

      Sabemos que el número 1384 en una cierta base b se expresa como 974(b. Determinad cuál es esta base.



      SOLUCIÓN

      Si llamamos b a la base que buscamos, ésta tiene que verificar:
      9b2+7b+4=1384

      esta ecuación de segundo grado tiene soluciones 12 y -12.777777777777779
      Como que la segunda solución no es una base de numeración válida, sólo será solución a nuestro problema la base:12
       

      EJERCICIO

      Sabemos que el número 307 en una cierta base b se expresa como 217(b. Determinad cuál es esta base.



      SOLUCIÓN

      Si llamamos b a la base que buscamos, ésta tiene que verificar:

      2b2+1b+7=307

      esta ecuación de segundo grado tiene soluciones 12 y -12.5
      Como que la segunda solución no es una base de numeración válida, sólo será solución a nuestro problema la base:12