Sistemas de numeración

      El sistema de numeración que normalmente utilizamos, es el sistema de numeración posicional de base 10. Esto quiere decir, en primer lugar, que usamos 10 símbolos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.   En segundo lugar este sistema de numeración se denomina posicional porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa en la representación del número. Así es diferente el 171 que el 117, aunque los representamos con los mismos tres símbolos. La posición nos indica si cada uno de estos símbolos es unidad, decena, centena, etc. Por ejemplo, el 137 es un número que tiene 7 unidades, 3 decenas y 1 centena. Así tendremos la igualdad:

      137 = 100 + 30 + 7 = 1·102+3·101+ 7·100

      No siempre se ha utilizado este sistema de numeración. Sólo hay que recordar la numeración romana o que en la antigua Babilonia se utilizaban otras bases de numeración. La razón por la que utilizamos 10 símbolos parece tener su origen en el número de dedos en las manos. En general diremos que un numero x tiene la expresión rnrn-1...r1r0(b en base b si y sólo si

      x= r0+r1b1+...+rn-1bn-1+rnbn

      donde x y b son números naturales. Hay que destacar dentro de los sistemas de numeración el sistema binario. Éste es el sistema de numeración posicional en base 2. Por ejemplo el 87 en base 2 es el 1010101, ya que:

      1010101 = 1·26+ 0·25+1·24+0·23+1·22+ 1·21+ 1·20=
      =64 + 16 + 4 + 2 + 1 = 87

      El sistema binario es el sistema de numeración más usado en aplicaciones tecnológicas. Esto es así por su simplicidad (sólo utiliza dos símbolos) que a menudo se asocian a dos estados de un mecanismo. Así si queremos enviar un número por una línea iremos enviando pulsos (para los '1') y las absencias de pulsos seran los '0'. También en la superficie de un CD hay una cadena de ceros y unos simplemente concatenando zonas activadas para el lector del laser (1) con zonas no activadas (0). Los ordenadores hacen sus operaciones internamente en sistema binario. El sistema binario también tiene aplicaciones en la matemática algorítmica. Un ejemplo es uno de los métodos conocidos más efectivos para el cálculo de una poténcia. Este método consiste en expresar el exponente en base 2 y proceder como en el ejemplo siguiente:

      320 = 310100= (31)0· (32)0· (322)1· (323)0· (324)1 =
      = 81 · 43.046.721 = 3.486.784.401

      Observad que se han hecho 4 cuadrados y 1 multiplicación, en comparación con las 19 multiplicaciones que se necesitarian haciendolo directamente.