137 = 100 + 30 + 7 = 1·102+3·101+ 7·100
En la historia de la humanidad no siempre se ha utilizado este sistema de numeración. Si quieres saber más sobre diferentes bases usadas en la antigüedad consulta el anexo 1.
x= r0+r1b1+...+rn-1bn-1+rnbn
donde x y b son números naturales y los números rn, rn-1,..., r1, r0 están entre 0 y b-1. Cuando la base de numeración es mayor que 10 podemos tener alguna cifra que sea superior a 10. En este caso se utilizan letras con el orden: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,...
1010101 = 1·26+ 0·25+1·24+0·23+1·22+ 1·21+ 1·20=
=64 + 16 + 4 + 2 + 1 = 87
El sistema binario es el sistema de numeración más usado en aplicaciones tecnológicas. Si queréis saber más sobre el sistema binario, sus implicaciones tecnológicas y su uso en matemática algorítmica, consultad el anexo 2.
Ejemplo
Expresad el número 40442(6 en base 10.
Para pasar el número 40442 de base 6 a base 10, hay que aplicar el significado de la expresión de un número en base 6,
es decir:
La primera división que hay que hacer es la división entera de x
entre b obteniendo un cociente q1 y un resto r0.
Si el cociente anterior es diferente de 0 hacemos una segunda división: dividimos q1
entre b, obteniendo el cociente q2 y el resto r1.
Si el cociente anterior es diferente de 0 hacemos una tercera divisió: dividimos q2
entre b, obteniendo el cociente q3 y el resto r2.
. . . . . . . . . . . . .
Así iremos haciendo divisiones sucesivas hasta que obtengamos un cierto cociente igual a 0 al hacer la división y
resto rn.
La expresión del número x en base b es el número
Ejemplo
Expresad el número 99235 en base 16.
Para pasar el número 99235 a base 16 hay que ir aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número con los restos encontrados.
Hagamos en primer lugar las divisiones sucesivas.
La primera división que hay que hacer es 99235 entre 16, con la que obtenemos el cociente 6202 y resto 3.
La segunda división es 6202 entre 16 y obtenemos el cociente 387 y resto 10.
En la tercera división hacemos 387 entre 16 y obtenemos el cociente 24 y resto 3.
La cuarta es 24 entre 16 y obtenemos el cociente 1 y resto 8.
La división que hacemos en el lugar 5 es 1 entre 16, obtenemos el cociente 0 y resto 1.
Una vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos obtenido (no olvidar que cuando los restos son mayores que 9, utilizamos las letras A,B,C,...). Así, el número 99235 en base 16 es
Si queréis practicar este tipo de conversiones podéis consultar el anexo 6.
Dos cuestiones que hay que aclarar ahora es la validez de este algoritmo y probar que la expresión de un número en una cierta base siempre existe y es única. Estas dos cuestiones las encontrarás contestadas en el anexo 3.
Para las bases de numeración 2,4,8,16 hay una serie de técnicas para hacer conversiones que encontrarás en el anexo 5.
Las bases de numeración también dan juego para hacer diferentes problemas de los que puedes encontrar algunos ejemplos en el anexo 6.
Los antiguos romanos utilizaban una numeración basada en el uso de los símbolos I,V,X,L,C,D,M
con los valores
El sistema binario también tiene aplicaciones en la matemática algorítmica. Un ejemplo es uno de los métodos conocidos más efectivos para el cálculo de una poténcia. Este método consiste en expresar el exponente en base 2 y proceder como en el ejemplo siguiente:
320 = 310100=
(31)0·
(32)0·
(322)1·
(323)0·
(324)1 =
= 81 · 43.046.721 = 3.486.784.401
Observad que se han hecho 4 cuadrados y 1 multiplicación, en comparación con las 19 multiplicaciones que se necesitarian haciendolo directamente.
Teorema
Si a> = 0 y b > 0 son enteros dados, entonces hay enteros únicos q
y r que verifican:
El teorema que afirma que existe y es única esta expresión se enuncia de la siguiente manera:
Teorema
Todo número natural x se puede expresar de forma única en una base b>1.
Demostración
Apliquemos el teorema de la división entera al número x y b, con el que obtenemos el
cociente
q1 y un resto r0.
Se verifica: x=bq1+r0.
A continuación hacemos lo mismo con el cociente obtenido: hacemos la división de q1
entre b, con cociente q2 y resto r1.
Así: q1=bq2+r1.
(Haciendo estas divisiones sucesivas llegaremos a un cociente 0 ya que los
cocientes
son números positivos menores estrictos que los dividendos, es decir:
x> q1 > q2> ...)
........................
Hacemos la última división entera que corresponde a qn entre b, obteniendo
el cociente 0 y un resto rn, es decir que qn=b0+rn.
Ahora sólo es necesario fijarse en que 0<= ri < b y que:
Pensad que es importante demostrar que la expresión siempre existe y es única. En matemáticas no siempre funcionan las cosas tan bién. Por ejemplo, no existe la expresión de la raíz cuadrada de 2 como cociente de dos números enteros. Además observad que la expresión del número 13 como número decimal no és única:
Sea el número 1010111(2.
Para expresarlo en base 10 sólo hay que evaluar el polinomio
| 1 0 1 0 1 1 1 | 2 | 2 4 10 20 42 86 ---------------------------------- | 1 2 5 10 21 43 87
Esta conversión es correcta fijándonos que:
Hemos sacado factor común 1,22, 24, 26 y después hemos calculado el interior de los paréntesis.
Lo mismo se puede hacer agrupando los dígitos de 3 en 3 obteniendo entonces la conversión a base 8 (el número se dice que está en octal):
EJERCICIO
Expresad el número 1552(9 en base 10.
SOLUCIÓN
Para pasar el número 1552 de base 9 a base 10 tenemos que aplicar el
significado de la expresión de un número en base 9, es decir:
1552(9=2·90+5·91+5·92+1·93=1181.
EJERCICIO
Expresad el número 4B578(13 en base 10.
SOLUCIÓN
Para pasar el número 4B578 de base 13 a base 10 tenemos
que aplicar el significado de la expresión de un número en base 13 (no olvidéis que
las letras A,B,C,..., corresponden a los valores 10,11,12,...), es decir:
4B578(13=8·130+7·131+5·132+11·133+4·134=139355.
EJERCICIO
Expresad el número 47122 en base 6.
SOLUCIÓN
Para pasar el número 47122 a base 6 tenemos que ir
aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas para más tarde reconstruir el número
con los restos encontrados:
La primera división que
se tiene que hacer es 47122 entre 6, con la que obtenemos el cociente 7853 y resto 4.
La
segunda división es 7853 entre 6 y obtenemos el cociente 1308 y resto 5.
En
la tercera división hacemos 1308 entre 6 y obtenemos el cociente 218 y resto 0.
La cuarta es 218 entre 6 y obtenemos el cociente 36 y resto 2.
La división que hacemos en
lugar 5 es 36 entre 6, obtenemos el cociente 6 y resto 0.
La división que hacemos en
lugar 6 es 6 entre 6, obtenemos el cociente 1 y resto 0.
La división que hacemos en
lugar 7 es 1 entre 6, obtenemos el cociente 0 y resto 1.
RECONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO
Una
vez llegados a la última división sólo tenemos que formar el número con los
restos de las divisiones sucesivas, cogidos en orden inverso a como los hemos
obtenido.
Así, el número 47122 en base 6 es
EJERCICIO
Sabemos que el número 307 en una cierta base b
se expresa como 217(b. Determinad cuál es esta base.
SOLUCIÓN
Si llamamos b a la base que buscamos, ésta tiene
que verificar: