Existencia y unicidad de la expresión de un número entero en una base

      Para justificar la validez del algoritmo de las divisiones sucesivas, así como la existencia y unicidad de la expresión de un número en una base utilizaremos el teorema de la división entera. Recordemoslo: (escribiremos > = para denotar mayor o igual y < = para menor o igual)

      Teorema
      Si a> = 0 y b > 0 son enteros dados, entonces hay enteros únicos q y r que verifican:

      a=bq+r, con q> = 0, 0 < = r < b.

      Los enteros q y r se denominan, respectivamente, el cociente y el resto de la división entera de a entre b.

      El teorema que afirma que existe y es única esta expresión se enuncia de la siguiente manera:

      Teorema
      Todo número natural x se puede expresar de forma única en una base b>1.

      Demostración

      Apliquemos el teorema de la división entera al número x y b, con el que obtenemos el cociente q1 y un resto r0. Se verifica: x=bq1+r0.
      A continuación hacemos los mismo con el cociente obtenido: hacemos la división de q1 entre b, con cociente q2 y resto r1. Así: q1=bq2+r1.
      (Haciendo estas divisiones sucesivas llegaremos a un cociente 0 ya que los cocientes son números positivos menores estrictos que los dividendos, es decir: x> q1 > q2> ...)
      ........................
      Hacemos la última división entera que corresponde a qn entre b, obteniendo el cociente 0 y un resto rn, es decir que qn=b0+rn.
      Ahora sólo es necesario fijarse en que 0<= ri < b y que:

      x=r0+q1b=r0+(r1+bq2)b= r0+r1b+q2b2=

      =r0+r1b+(r2+bq3)b2= r0+r1b+r2b2+q3b3=...

      =r0+r1b+r2b2+r3b3+...+ rnbn
      La expresión es única ya que si tuvieramos dos:
      r0+r1b+r2b2+...+rnbn= s0+s1b+s2b2+...+smbm
      entonces por la unicidad del resto y del cociente de la división entera obtenemos:
      r0=s0
      r1+r2b+...+rnbn-1= s1+s2b+...+smbm-1
      Repitiendo el proceso se obtiene que n=m y que r0=s0, r1=s1,r2=s2,...

      Pensad que es importante demostrar que la expresión siempre existe y es única. En matemáticas no siempre funcionan las cosas tan bién. Por ejemplo, no existe la expresión de la raíz cuadrada de 2 como cociente de dos números enteros. Además observad que la expresión del número 13 como número decimal no és única:

      13,000000000000...=12,99999999999999...