Teorema
Si a> = 0 y b > 0 son enteros dados, entonces hay enteros únicos q
y r que verifican:
El teorema que afirma que existe y es única esta expresión se enuncia de la siguiente manera:
Teorema
Todo número natural x se puede expresar de forma única en una base b>1.
Demostración
Apliquemos el teorema de la división entera al número x y b, con el que obtenemos el
cociente
q1 y un resto r0.
Se verifica: x=bq1+r0.
A continuación hacemos los mismo con el cociente obtenido: hacemos la división de q1
entre b, con cociente q2 y resto r1.
Así: q1=bq2+r1.
(Haciendo estas divisiones sucesivas llegaremos a un cociente 0 ya que los
cocientes
son números positivos menores estrictos que los dividendos, es decir:
x> q1 > q2> ...)
........................
Hacemos la última división entera que corresponde a qn entre b, obteniendo
el cociente 0 y un resto rn, es decir que qn=b0+rn.
Ahora sólo es necesario fijarse en que 0<= ri < b y que:
Pensad que es importante demostrar que la expresión siempre existe y es única. En matemáticas no siempre funcionan las cosas tan bién. Por ejemplo, no existe la expresión de la raíz cuadrada de 2 como cociente de dos números enteros. Además observad que la expresión del número 13 como número decimal no és única: