Existència i unicitat de l'expressió d'un nombre enter en una base

      Per justificar la validessa de l'algorisme de les divisions successives, així com l'existència i unicitat de l'expressió d'un nombre en una base farem servir el teorema de la divisió entera. Recordem-lo: (escriurem > = per denotar més gran o igual i < = per més petit o igual)

      Teorema
      Si a> = 0 i b > 0 són enters donats, aleshores hi ha enters únics q i r que satisfan:

      a=bq+r, amb q> = 0, 0 < = r < b.

      Els enters q i r s'anomenen, respectivament, el quocient i el residu de la divisió entera de a entre b.

      El teorema que afirma que existeix i és única aquesta expressió s'enuncia de la manera següent:

      Teorema
      Tot nombre natural x es pot expressar de forma única en una base b>1.

      Demostració

      Apliquem el teorema de la divisió entera al nombre x i b, amb el qual obtenim el quocient q1 i un residu r0. Es verifica: x=bq1+r0.
      A continuació fem el mateix amb el quocient obtingut: fem la divisió de q1 entre b, amb quocient q2 i residu r1. Així: q1=bq2+r1.
      (Fent aquestes divisions successives arribarem a un quocient 0 ja que els quocients són nombres positius menors estrictes que els dividends, és a dir: x> q1 > q2> ...)
      ........................
      Fem la darrera divisió entera que correspon a qn entre b, obtenint el quocient 0 i un residu rn, és a dir que qn=b0+rn.
      Ara només cal fixar-se que 0<= ri < b i que:

      x=r0+q1b=r0+(r1+bq2)b= r0+r1b+q2b2=

      =r0+r1b+(r2+bq3)b2= r0+r1b+r2b2+q3b3=...

      =r0+r1b+r2b2+r3b3+...+ rnbn
      L'expressió és única ja que si en tinguéssim dues:
      r0+r1b+r2b2+...+rnbn= s0+s1b+s2b2+...+smbm
      llavors per la unicitat del residu i del quocient de la divisió entera obtenim:
      r0=s0
      r1+r2b+...+rnbn-1= s1+s2b+...+smbm-1
      Repetint el procés s'obté que n=m i que r0=s0, r1=s1,r2=s2,...

      Penseu que és important demostrar que l'expressió sempre existeix i és única. En matemàtiques no sempre funcionen les coses tan bé. Penseu, per exemple, que no existeix l'expressió de l'arrel quadrada de 2 com a quocient de dos nombres enters. A més observeu que l'expressió del nombre 13 com a nombre decimal no és única:

      13,000000000000...=12,99999999999999...