>>>
    Sistemes de numeració posicional

      El sistema de numeració que normalment fem servir, és el sistema de numeració posicional en base 10. Diem que la base és 10 perquè usem 10 símbols diferents: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Aquest sistema de numeració s'anomena posicional perquè el valor de cada símbol depèn de la posició que ocupa en la representació del número. Així és diferent el 173 que el 137, tot i que els representem amb els mateixos tres símbols. La posició ens indica si cada un d'aquests símbols és unitat, desena, centena, etc. Per exemple, el 137 és un número format per 7 unitats, 3 desenes i 1 centena. Així tindrem la igualtat:

      137 = 100 + 30 + 7 = 1·102+3·101+ 7·100

      A la història de la humanitat no sempre s'ha fet servir aquest sistema de numeració. Si vols saber més sobre diferents bases usades a l'antiguitat consulta l'annex 1.

    Numeració de base b

      En general direm que un nombre x té l'expressió rnrn-1...r1r0 (b en base b si

      x= r0+r1b1+...+rn-1bn-1+rnbn

      a on x i b són nombres naturals i els nombres rn, rn-1,..., r1, r0 estan entre 0 i b-1. Quan la base de numeració és més gran que 10 podem tenir alguna xifra que sigui superior a 10. En aquest cas es fan servir lletres amb l'ordre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,...

    Sistema binari

      Cal destacar dintre dels sistemes de numeració el sistema binari. Aquest és el sistema de numeració posicional en base 2. Per exemple el nombre 87 en base 2 és el 1010111, ja que:

      1010111(2 = 1·20+ 1·21+1·22+0·23+1·24+ 0·25 + 1·26=1+2+4+16+64 = 87

      El sistema binari és el sistema de numeració més usat en aplicacions tecnològiques. Si voleu saber més sobre el sistema binari, les seves implicacions tecnològiques i el seu ús en matemàtica algorísmica, consulteu l'annex 2.
    De base b a base 10

      La definició d'expressió d'un nombre en una base ens proporciona una manera de calcular el seu valor en base 10. Veiem-ho amb un exemple:

      Exemple
      Expresseu el nombre 40442(6 en base 10.
      Per passar el nombre 40442 de base 6 a base 10, cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 6, és a dir:

      40442(6=2·60+4·61+4·62+0·63+4·64=5354.

      Si voleu practicar aquest tipus de conversions trobareu una sèrie d'exercicis a l'annex 6. Hi ha una manera de sistematizar aquests càlculs amb una taula que trobaràs a l'annex 4 (Regla de Horner).
    De base 10 a base b

      Un altre problema és el de passar un nombre de base 10 a una base qualsevol. Per fer aquest procés disposem de l'algorisme de les divisions successives. Veiem com funciona l'algorisme per expressar el nombre x en base b:

      La primera divisió que cal fer és la divisió entera de x entre b obtenint un quocient q1 i un residu r0.
      Si el quocient anterior és diferent de 0 fem una segona divisió: dividim q1 entre b, obtenint el quocient q2 i el residu r1.
      Si el quocient anterior és diferent de 0 fem una tercera divisió: dividim q2 entre b, obtenint el quocient q3 i el residu r2.
      . . . . . . . . . . . . .

      Així anirem fent divisions successives fins que un cert quocient ens doni 0 al fer la divisió i residu rn.
      L'expressió del nombre x en base b és el nombre

      rnrn-1...r1r0(b
      és a dir, la successió dels residus agafats en ordre invers a com els hem obtingut.

      Exemple
      Expresseu el nombre 99235 en base 16.

      Per passar el nombre 99235 a base 16 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats.

      Fem en primer lloc les divisions successives.
      La primera divisió que s'ha de fer és 99235 entre 16, amb la qual obtenim el quocient 6202 i residu 3.
      La segona divisió és 6202 entre 16 i obtenim el quocient 387 i residu 10.
      A la tercera divisió fem 387 entre 16 i obtenim el quocient 24 i residu 3.
      La quarta és 24 entre 16 i obtenim el quocient 1 i residu 8.
      La divisió que fem en lloc 5 és 1 entre 16, obtenim el quocient 0 i residu 1.

      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut (no oblideu que quan els residus són més grans que 9, fem servir les lletres A,B,C,...). Així, doncs, el nombre 99235 en base 16 és

      183A3(16

      Si voleu practicar aquest tipus de conversions podeu consultar l'annex 6.

      Dues qüestions que cal aclarir ara és la validessa d'aquest algorisme i probar que l'expressió d'un nombre en una certa base sempre existeix i és única. Aquestes dues qüestions les trobaràs contestades a l'annex 3.

    D'una base qualsevol a una altra

      Evidentment fent servir la concatenació dels dos tipus de conversions es pot passar un nombre d'una base qualsevol a una altra. A l'annex 6 trobaràs exercicis resolts d'aquest tipus.

      Per les bases de numeració 2,4,8,16 hi ha una sèrie de tècniques per fer conversions que trobaràs a l'annex 5.

      Les bases de numeració també donen joc per fer diferents problemes dels quals pots trobar alguns exemples a l'annex 6.

    ANNEX 1. Història sistemes de numeració
      No sempre s'ha fet servir aquest sistema de numeració. Els dígits que fem servir en el nostre sistema de numeració van ser portats pels àrabs però són d'orígen indú. A l'antiga Babilònia es feien servir d'altres bases de numeració. La raó per la qual nosaltres fem servir 10 símbols sembla ser heretada pel número de dits a les mans.

      Els antics romans feien servir una numeració basada en l'ús dels símbols I,V,X,L,C,D,M amb els valors

      I=1,V=5,X=10,L=50,C=100,D=500,M=1000

      També es tractava d'un sistema posicional ja que no era el mateix XI=11 que IX=9 (és a dir, importa l'ordre dels símbols).
    ANNEX 2. Aplicacions del sistema binari

      El sistema binari és el sistema de numeració més usat en aplicacions tecnològiques. Això és per la seva simplicitat (només fa servir dos símbols) que sovint s'associen a dos estats d'un mecanisme. Així si volem enviar un número per una línia anirem enviant pulsos (pels '1') i les absències de pulsos seran els '0'. També en la superfície d'un CD hi ha una cadena de zeros i uns simplement concatenant zones activades pel lector del làser (1) amb zones no activades (0). Els ordinadors fan les seves operacions internament en sistema binari.

      El sistema binari també té aplicacions a la matemàtica algorísmica. Un exemple és un dels mètodes coneguts més efectius del càlcul d'una potència. Aquest mètode consisteix en expressar l'exponent en base 2 i procedir com a l'exemple següent:

      320 = 310100= 30·1+0·21+1·22+0·23+1·24=
      =(31)0· (32)0· (322)1· (323)0· (324)1 = 81 · 43.046.721 = 3.486.784.401

      Observeu que s'han fet 4 quadrats i 1 multiplicació, en comparació amb les 19 multiplicacions que es necessitaríen fent-ho directament.

    ANNEX 3. Existència i unicitat de l'expressió d'un nombre enter en una base

      Per justificar la validessa de l'algorisme de les divisions successives, així com l'existència i unicitat de l'expressió d'un nombre en una base farem servir el teorema de la divisió entera. Recordem-lo: (escriurem > = per denotar més gran o igual i < = per més petit o igual)

      Teorema
      Si a> = 0 i b > 0 són enters donats, aleshores hi ha enters únics q i r que satisfan:

      a=bq+r, amb q> = 0, 0 < = r < b.

      Els enters q i r s'anomenen, respectivament, el quocient i el residu de la divisió entera de a entre b.

      El teorema que afirma que existeix i és única aquesta expressió s'enuncia de la manera següent:

      Teorema
      Tot nombre natural x es pot expressar de forma única en una base b>1.

      Demostració

      Apliquem el teorema de la divisió entera al nombre x i b, amb el qual obtenim el quocient q1 i un residu r0. Es verifica: x=bq1+r0.
      A continuació fem el mateix amb el quocient obtingut: fem la divisió de q1 entre b, amb quocient q2 i residu r1. Així: q1=bq2+r1.
      (Fent aquestes divisions successives arribarem a un quocient 0 ja que els quocients són nombres positius menors estrictes que els dividends, és a dir: x> q1 > q2> ...)
      ........................
      Fem la darrera divisió entera que correspon a qn entre b, obtenint el quocient 0 i un residu rn, és a dir que qn=b0+rn.
      Ara només cal fixar-se que 0<=ri < b i que:

      x=r0+q1b=r0+(r1+bq2)b= r0+r1b+q2b2=

      =r0+r1b+(r2+bq3)b2= r0+r1b+r2b2+q3b3=...

      =r0+r1b+r2b2+r3b3+...+ rnbn
      L'expressió és única ja que si en tinguéssim dues:
      r0+r1b+r2b2+...+rnbn= s0+s1b+s2b2+...+smbm
      llavors per la unicitat del residu i del quocient de la divisió entera obtenim:
      r0=s0
      r1+r2b+...+rnbn-1= s1+s2b+...+smbm-1
      Repetint el procés s'obté que n=m i que r0=s0, r1=s1,r2=s2,...

      Penseu que és important demostrar que l'expressió sempre existeix i és única. En matemàtiques no sempre funcionen les coses tan bé. Penseu, per exemple, que no existeix l'expressió de l'arrel quadrada de 2 com a quocient de dos nombres enters. A més observeu que l'expressió del nombre 13 com a nombre decimal no és única:

      13,000000000000...=12,99999999999999...
    ANNEX 4. Regla de Horner pel pas de base qualsevol a base 10
    Per passar un nombre rnrn-1...r1r0 (b a base 10 cal fer el càlcul
    r0+r1b1+...+rn-1bn-1+rnbn
    Anomenem p(x) al polinomi que té per coeficients els dígits del nombre, això és
    p(x)= r0+r1x1+...+rn-1xn-1+rnxn
    S'observa que per fer la conversió del nombre a base 10 només cal trobar la imatge p(b). Aquest càlcul es pot sistematitzar fent-us de la regla de Horner (algorisme de la divisó de Ruffini). Veiem amb un exemple en què consisteix aquesta sistematització.

    Sigui el nombre 1010111(2.
    Per expressar-lo en base 10 només cal avaluar el polinomi

    p(x)=1·x6+0·x5+1·x4+0·x3+1·x2+1·x1+1·x0
    en x=2. Per fer aquest còmput es poden sistematizar els càlculs segons l'algorisme de la divisó de Ruffini i prendre el residu de la divisió:
        |  1   0   1   0   1   1   1
        |
    2   |      2   4  10  20  42  86
    ----------------------------------
        |  1   2   5  10  21  43  87
    

    Així podem concloure que 1010111(2=87.
    ANNEX 5. Agrupacions de dígits per la conversió entre bases
    Per passar un nombre de base 2 a base 4 es pot fer agrupant els dígits de dos en dos i substituir-los pel seu valor. Veiem amb un exemple què volem dir:

    1010111(2 --->1 01 01 11 ---> 1113(4

    Aquesta conversió és certa fixant-nos en:

    1010111(2 =1·20+ 1·21+1·22+0·23+1·24+ 0·25+ 1·26=
    =1·20+1·21+ 22·(1·20+0·21)+24·(1·20+0·21)+ 26·(1·20)=
    =3+ 22·1+24·1+ 26·1=
    =3·40+1·41+1·42+1·43=1113(4

    Hem tret factor comú 1,22, 24, 26 i després hem calculat els parèntesis.

    El mateix es pot fer agrupant els dígits de 3 en 3 obtenint llavors la conversió a base 8 (el nombre es diu que està en octal):

    1010111(2 --->1 010 111 ---> 127(8
    I de la mateixa manera fent les agrupacions de 4 en 4 obtenim l'expressió en base 16:

    1010111(2 --->101 0111 ---> 57(16
    ANNEX 6. Exercicis resolts

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 44534(6 en base 10.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 44534 de base 6 a base 10 cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 6, és a dir:

      44534(6=4·60+3·61+5·62+4·63+4·64=6250.
      EXERCICI

      Expresseu el nombre 1552(9 en base 10.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 1552 de base 9 a base 10 cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 9, és a dir:

      1552(9=2·90+5·91+5·92+1·93=1181.
      EXERCICI

      Expresseu el nombre 4B578(13 en base 10.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 4B578 de base 13 a base 10 cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 13 (no oblideu que les lletres A,B,C,..., corresponen als valors 10,11,12,...), és a dir:

      4B578(13=8·130+7·131+5·132+11·133+4·134=139355.
      EXERCICI

      Expresseu el nombre 47122 en base 6.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 47122 a base 6 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:

      DIVISIONS SUCCESSIVES
      La primera divisió que s'ha de fer és 47122 entre 6, amb la qual obtenim el quocient 7853 i residu 4.
      La segona divisió és 7853 entre 6 i obtenim el quocient 1308 i residu 5.
      A la tercera divisió fem 1308 entre 6 i obtenim el quocient 218 i residu 0.
      La quarta és 218 entre 6 i obtenim el quocient 36 i residu 2.
      La divisió que fem en lloc 5 és 36 entre 6, obtenim el quocient 6 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 6 és 6 entre 6, obtenim el quocient 1 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 7 és 1 entre 6, obtenim el quocient 0 i residu 1.


      RECONSTRUCCIÓ DEL NOMBRE
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut.
      Així, doncs, el nombre 47122 en base 6 és
      1002054(6

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 47625 en base 13.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 47625 a base 13 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:

      DIVISIONS SUCCESSIVES
      La primera divisió que s'ha de fer és 47625 entre 13, amb la qual obtenim el quocient 3663 i residu 6.
      La segona divisió és 3663 entre 13 i obtenim el quocient 281 i residu 10.
      A la tercera divisió fem 281 entre 13 i obtenim el quocient 21 i residu 8.
      La quarta és 21 entre 13 i obtenim el quocient 1 i residu 8.
      La divisió que fem en lloc 5 és 1 entre 13, obtenim el quocient 0 i residu 1.


      RECONSTRUCCIÓ DEL NOMBRE
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut (no oblideu que quan els residus són més grans que 9, fem servir les lletres A,B,C,...).
      Així, doncs, el nombre 47625 en base 13 és
      188A6(13

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 1598 en base 15.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 1598 a base 15 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:

      DIVISIONS SUCCESSIVES
      La primera divisió que s'ha de fer és 1598 entre 15, amb la qual obtenim el quocient 106 i residu 8.
      La segona divisió és 106 entre 15 i obtenim el quocient 7 i residu 1.
      A la tercera divisió fem 7 entre 15 i obtenim el quocient 0 i residu 7.


      RECONSTRUCCIÓ DEL NOMBRE
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut.
      Així, doncs, el nombre 1598 en base 15 és
      718(15

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 4443 en base 2.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 4443 a base 2 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:

      DIVISIONS SUCCESSIVES
      La primera divisió que s'ha de fer és 4443 entre 2, amb la qual obtenim el quocient 2221 i residu 1.
      La segona divisió és 2221 entre 2 i obtenim el quocient 1110 i residu 1.
      A la tercera divisió fem 1110 entre 2 i obtenim el quocient 555 i residu 0.
      La quarta és 555 entre 2 i obtenim el quocient 277 i residu 1.
      La divisió que fem en lloc 5 és 277 entre 2, obtenim el quocient 138 i residu 1.
      La divisió que fem en lloc 6 és 138 entre 2, obtenim el quocient 69 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 7 és 69 entre 2, obtenim el quocient 34 i residu 1.
      La divisió que fem en lloc 8 és 34 entre 2, obtenim el quocient 17 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 9 és 17 entre 2, obtenim el quocient 8 i residu 1.
      La divisió que fem en lloc 10 és 8 entre 2, obtenim el quocient 4 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 11 és 4 entre 2, obtenim el quocient 2 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 12 és 2 entre 2, obtenim el quocient 1 i residu 0.
      La divisió que fem en lloc 13 és 1 entre 2, obtenim el quocient 0 i residu 1.


      RECONSTRUCCIÓ DEL NOMBRE
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut.
      Així, doncs, el nombre 4443 en base 2 és
      1000101011011(2

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 11110(2 en base 6.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 11110 de base 2 a base 6 farem una conversió intermitja a base 10. En primer lloc cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 2, és a dir:

      11110(2=0·20+1·21+1·22+1·23+1·24=30.
      No oblideu que 30 està escrit en base 10: 30(10.
      Ara per passar el nombre 30 a base 6 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:
      La primera divisió que s'ha de fer és 30 entre 6, amb la qual obtenim el quocient 5 i residu 0.
      La segona divisió és 5 entre 6 i obtenim el quocient 0 i residu 5.
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut.
      Així, doncs, el nombre 11110(2 en base 6 és
      50(6

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 8261A(11 en base 16.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 8261A de base 11 a base 16 farem una conversió intermitja a base 10. En primer lloc cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 11 (no oblideu que les lletres A,B,C,..., corresponen als valors 10,11,12,...), és a dir:

      8261A(11=10·110+1·111+6·112+2·113+8·114=120537.
      No oblideu que 120537 està escrit en base 10: 120537(10.
      Ara per passar el nombre 120537 a base 16 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:
      La primera divisió que s'ha de fer és 120537 entre 16, amb la qual obtenim el quocient 7533 i residu 9.
      La segona divisió és 7533 entre 16 i obtenim el quocient 470 i residu 13.
      A la tercera divisió fem 470 entre 16 i obtenim el quocient 29 i residu 6.
      La quarta és 29 entre 16 i obtenim el quocient 1 i residu 13.
      La divisió que fem en lloc 5 és 1 entre 16, obtenim el quocient 0 i residu 1.
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut (no oblideu que quan els residus són més grans que 9, fem servir les lletres A,B,C,...).
      Així, doncs, el nombre 8261A(11 en base 16 és
      1D6D9(16

      EXERCICI

      Expresseu el nombre 10(2 en base 11.
      SOLUCIÓ

      Per passar el nombre 10 de base 2 a base 11 farem una conversió intermitja a base 10. En primer lloc cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 2, és a dir:

      10(2=0·20+1·21=2.
      No oblideu que 2 està escrit en base 10: 2(10.
      Ara per passar el nombre 2 a base 11 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats:
      La primera divisió que s'ha de fer és 2 entre 11, amb la qual obtenim el quocient 0 i residu 2.
      Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut.
      Així, doncs, el nombre 10(2 en base 11 és
      2(11

      EXERCICI

      Sabem que el nombre 1384 en una certa base b s'expressa com 974(b. Determineu quina és aquesta base.



      SOLUCIÓ

      Si diem b a la base que busquem, aquesta ha de verificar:
      9b2+7b+4=1384

      Aquesta equació de segon grau té solucions 12 i -12.777777777777779
      Com que la segona solució no és una base de numeració vàlida, només serà solució al nostre problema la base:12
      EXERCICI

      Sabem que el nombre 307 en una certa base b s'expressa com 217(b. Determineu quina és aquesta base.



      SOLUCIÓ

      Si diem b a la base que busquem, aquesta ha de verificar:
      2b2+1b+7=307

      Aquesta equació de segon grau té solucions 12 i -12.5
      Com que la segona solució no és una base de numeració vàlida, només serà solució al nostre problema la base:12