A la història de la humanitat no sempre s'ha fet servir aquest sistema de numeració. Si vols saber més sobre diferents bases usades a l'antiguitat consulta l'annex 1.
a on x i b són nombres naturals i els nombres rn, rn-1,..., r1, r0 estan entre 0 i b-1. Quan la base de numeració és més gran que 10 podem tenir alguna xifra que sigui superior a 10. En aquest cas es fan servir lletres amb l'ordre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,...
Exemple
Expresseu el nombre 40442(6 en base 10.
Per passar el nombre 40442 de base 6 a base 10, cal aplicar el significat de l'expressió d'un nombre en base 6,
és a dir:
La primera divisió que cal fer és la divisió entera de x
entre b obtenint un quocient q1 i un residu r0.
Si el quocient anterior és diferent de 0 fem una segona divisió: dividim q1
entre b, obtenint el quocient q2 i el residu r1.
Si el quocient anterior és diferent de 0 fem una tercera divisió: dividim q2
entre b, obtenint el quocient q3 i el residu r2.
. . . . . . . . . . . . .
Així anirem fent divisions successives fins que un cert quocient ens doni 0 al fer la divisió i
residu rn.
L'expressió del nombre x en base b és el nombre
Exemple
Expresseu el nombre 99235 en base 16.
Per passar el nombre 99235 a base 16 cal anar aplicant l'algorisme de les divisions successives per més tard reconstruir el nombre amb els residus trobats.
Fem en primer lloc les divisions successives.
La primera divisió que s'ha de fer és 99235 entre 16, amb la qual obtenim el quocient 6202 i residu 3.
La segona divisió és 6202 entre 16 i obtenim el quocient 387 i residu 10.
A la tercera divisió fem 387 entre 16 i obtenim el quocient 24 i residu 3.
La quarta és 24 entre 16 i obtenim el quocient 1 i residu 8.
La divisió que fem en lloc 5 és 1 entre 16, obtenim el quocient 0 i residu 1.
Una vegada arribats a la darrera divisió només cal formar el nombre amb els residus de les divisions successives, agafats en ordre invers a com els hem obtingut (no oblideu que quan els residus són més grans que 9, fem servir les lletres A,B,C,...). Així, doncs, el nombre 99235 en base 16 és
Si voleu practicar aquest tipus de conversions podeu consultar l'annex 6.
Dues qüestions que cal aclarir ara és la validessa d'aquest algorisme i probar que l'expressió d'un nombre en una certa base sempre existeix i és única. Aquestes dues qüestions les trobaràs contestades a l'annex 3.
Per les bases de numeració 2,4,8,16 hi ha una sèrie de tècniques per fer conversions que trobaràs a l'annex 5.
Les bases de numeració també donen joc per fer diferents problemes dels quals pots trobar alguns exemples a l'annex 6.
Els antics romans feien servir una numeració basada en l'ús dels símbols I,V,X,L,C,D,M amb
els valors
El sistema binari també té aplicacions a la matemàtica algorísmica. Un exemple és un dels mètodes coneguts més efectius del càlcul d'una potència. Aquest mètode consisteix en expressar l'exponent en base 2 i procedir com a l'exemple següent:
320 = 310100=
30·1+0·21+1·22+0·23+1·24=
=(31)0·
(32)0·
(322)1·
(323)0·
(324)1 =
81 · 43.046.721 = 3.486.784.401
Observeu que s'han fet 4 quadrats i 1 multiplicació, en comparació amb les 19 multiplicacions que es necessitaríen fent-ho directament.
Teorema
Si a> = 0 i b > 0 són enters donats, aleshores hi ha enters únics q i r que satisfan:
El teorema que afirma que existeix i és única aquesta expressió s'enuncia de la manera següent:
Teorema
Tot nombre natural x es pot expressar de forma única en una base b>1.
Demostració
Apliquem el teorema de la divisió entera al nombre x i b, amb el qual obtenim el quocient
q1 i un residu r0.
Es verifica: x=bq1+r0.
A continuació fem el mateix amb el quocient obtingut: fem la divisió de q1
entre b, amb quocient q2 i residu r1.
Així: q1=bq2+r1.
(Fent aquestes divisions successives arribarem a un quocient 0 ja que els quocients
són nombres positius menors estrictes que els dividends, és a dir:
x> q1 > q2> ...)
........................
Fem la darrera divisió entera que correspon a qn entre b, obtenint
el quocient 0 i un residu rn, és a dir que qn=b0+rn.
Ara només cal fixar-se que 0<=ri < b i que:
Penseu que és important demostrar que l'expressió sempre existeix i és única. En matemàtiques no sempre funcionen les coses tan bé. Penseu, per exemple, que no existeix l'expressió de l'arrel quadrada de 2 com a quocient de dos nombres enters. A més observeu que l'expressió del nombre 13 com a nombre decimal no és única:
Sigui el nombre 1010111(2.
Per expressar-lo en base 10 només cal avaluar el polinomi
| 1 0 1 0 1 1 1 | 2 | 2 4 10 20 42 86 ---------------------------------- | 1 2 5 10 21 43 87
Aquesta conversió és certa fixant-nos en:
Hem tret factor comú 1,22, 24, 26 i després hem calculat els parèntesis.
El mateix es pot fer agrupant els dígits de 3 en 3 obtenint llavors la conversió a base 8 (el nombre es diu que està en octal):