Teorema
Si a> = 0 i b > 0 són enters donats, aleshores hi ha enters únics q i r que satisfan:
El teorema que afirma que existeix i és única aquesta expressió s'enuncia de la manera següent:
Teorema
Tot nombre natural x es pot expressar de forma única en una base b>1.
Demostració
Apliquem el teorema de la divisió entera al nombre x i b, amb el qual obtenim el quocient
q1 i un residu r0.
Es verifica: x=bq1+r0.
A continuació fem el mateix amb el quocient obtingut: fem la divisió de q1
entre b, amb quocient q2 i residu r1.
Així: q1=bq2+r1.
(Fent aquestes divisions successives arribarem a un quocient 0 ja que els quocients
són nombres positius menors estrictes que els dividends, és a dir:
x> q1 > q2> ...)
........................
Fem la darrera divisió entera que correspon a qn entre b, obtenint
el quocient 0 i un residu rn, és a dir que qn=b0+rn.
Ara només cal fixar-se que 0<= ri < b i que:
Penseu que és important demostrar que l'expressió sempre existeix i és única. En matemàtiques no sempre funcionen les coses tan bé. Penseu, per exemple, que no existeix l'expressió de l'arrel quadrada de 2 com a quocient de dos nombres enters. A més observeu que l'expressió del nombre 13 com a nombre decimal no és única: